INTRODUÇÃO A PROBABILIDADES
Probabilidade é o ramo estatística que trata de fenomenos aleatorio.
Exemplo: Antes de aumentar o limite da velocidade em nossas estradas, devemos procurar estimar a probabilidade do aumento de acidentes fatais.
OBJECTIVOS:
É aplicada em inúmeros fenomenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística.
Oferece base para inferências estatísticas clássica devido á sua afinidade com o teorema do limite central
Ao lidarmos com problemas de probabilidade, vamos encontrar os seguintes conceitos: experimentos, eventos e a coleção de todos os resultados possíveis.
DEFINIÇÕES
Um experimento - é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações.
Um evento- é uma coleção de resultados de experimento
O espaço amostral de um experimento consiste em todos os eventos simples possíveis.
Ex: O lançamento de dado é um experimento. E o resultado 4 é um evento; e o espaço amostral consiste nesses eventos simples: 1,2,3,4,5,6.
?Qual é o espaço amostral no lançamento de uma moeda.
DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE
P(A)=no de resultados favoráveis a A/no resultados possíveis
P –denota-se probabilidade;
A,B,C denotam eventos específicos
P(A) denota a probabilidade de ocorrência do evento A.
Axiomas:
Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤1Para qualquer evento
Axioma 2: P(s)=1
Axioma 3: Se dois acontecimentos A e B forem mutuamente exclusivos a sua interseção e igual ao conjunto vazio.
Eventos complementares
Definição: Complento de um evento A, denotado por A, consiste em todos os resultados em que o evento A não ocorre.
Operações Matemáticas das Probabilidades
Regra de Adição
1.UNIAO
A+B (A ocorre ou B ocorre ou Ambos)
2. Intersecção
A*B (Ocorre A e B ocorre)
3. Complementar
P(A) = 1 - P(A) (não ocorre A)
Regra formal de Adição.
P(A ou B)= P(A) +P(B) - P(A e B)
Onde P(A e B) denota a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B em mesmo experimento.
Por exemplo, se a probabilidade de um indivíduo ser do grupo sanguíneo A é 0.43 e de ser do grupo B é 0.08 então a probabilidade de um indivíduo ser do grupo A ou B é 0.51.
P(gA) = 0.43 e P(gB) = 0.08
Adição
P(gA ou gB) = P(gA) + P(gB)
= 0.42 + 0.08
= 0.51
Sejam os acontecimentos:
A= {Saida da face par} ={2,4,6}
B= {Saida de face múltipla de 3}
A e B ={ Saida da face par e múltipla de 3} = {6}
Acontecimento impossivel
E= { Saida de face10 no lançamento de um dado} =Ø
Eventos Mutuamente Exclusivos- dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se eles não pode ocorrer simultaneamente, isto é A intersecção com B é igual ao conjunto vazio.
Exemplo:
E: jogar um dado e observar o resultado
S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sejam os eventos: A= {ocorrer numero par} e
B= {ocorrer numero ímpar}.
Evento A={ 2, 4, 6}
Evento B ={ 1, 3, 5,}
A e B =Ø {conjunto vazio}
Evento complementar
Ex: A Medimoc deseja testar um novo produto a ser usado na fabricação de luvas. Um grupo de teste consiste em 20 homens e 30 mulheres.
Escolhida aleatoriamente uma pessoa desse grupo de teste, determine a probabilidade de não ser homem?
Solução: P( não escolher um homem)= 30/50= 0.6
Regra da Multiplicação
Dois eventos A e B sao INDEPENDETES se a ocorrência de um deles na afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Se A e B nao são independentes dizem-se DEPEDENTES
Exemplo:
P(A e B)= P(A) * (PB) se A e B são independentes
P(A e B)= P(A) * P(B/A) se A e B são Dependentes
Probabilidade Condicional
Definição: A probabilidade condicional de B dado A é a probabilidade de ocorrência do evento B, sabido que o evento A ja ocorreu. Pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento A;
P(B/A)=P(A e B)/P(A)
N.B:Dois eventos A e B são independentes se:
P(B/A) = P(B) ou P(A e B) = P(A) *P(B)
Ex: se P(B/A) =0.3 e P(B) =0.3, então P(B/A)=P(B) e concluimos que A e B são independentes. O evento B não afectado pelo evento A
Dois eventos A e B são dependentes se:
P(B/A) ≠ P(B) ou P(A e B) ≠ P(A) *P(B)
Ex:
Relação entre Criminoso e Vítima
A) se uma pessoa é seleccionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido vítima de um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto?
Solução: Queremos P(estranho/furto). Se a pessoa seleccionada foi vítima de furto então teremos:
P(estranho/ furto)=379/505= 0.750 ou
P(estranho/furto)=P(furto e estranho)/ P( furto)= (379/2000)/(505/2000)=0.750
INTRODUÇÃO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A Distribuição Normal - é a distribuição de probabilidade mais importante na Estatística. É também conhecida como distribuição de Gauss ou Laplace-Gauss.
Diz- se uma variável aleatória contínua tem distribuição normal se essa distribuição é simétrica e apresenta a forma de um sino.
Escreve-se simbolicamente:
Definem completamente uma curva normal-(X ~ N(μ,σ2),
X= N(μ,σ2) lê-se “a variável aleatoria X tem distribuição normal com média μ e variância σ2
Distribuição Normal Padronizada
É uma distribuição de probabilidade que tem a média 0 e desvio-padrão 1.
X= N(0;1) lê-se “a variável aleatoria Z tem distribuição normal com média 0 e variância 1. Ou simplesmente, distribuição normal padrão
Usando a fórmula de transformação qualquer variável aleatória normal X é convertida em uma variável normal padronizada Z
Z=(X-µ)/ σ
Onde: σ é o desvio padrão
µ é a média aritmética
Na distribuição normal padronizada, a variável Z possui média=0 e desvio padrão=1
Z é a variável contínua que representa o número de desvios da média.
A área sob a curva corresponde á probabilidade de a variável aleatótia assumir qualquer valor real, deve ser um valor entre 0 e 1
Cálculo de probabilidades
Uso de Tabelas de Distribuicao Normal Padrao
Há vários tipos de tabelas que oferecem áreas (probabilisticas) sob curva normal padrão.
O tipo mais frequente e a tabela da faixa central, esta nos dá a área sob a curva normal padrão entre Z=0 e qualquer valor positivo Z.
A semetria em torno de Z =0 permite obter a área entre quaisquer valores de Z (positivos e negativos)
Ex: A tabela oferece a área entre 0 e Z0 ou P(0 ≤ Z ≤ Zo)
Exemplo:
a) P(0 ≤ Z ≤ 1)
b) P(-2,55< Z< 1.2)
c ) P( Z ≤ 1.93)
Resolucao
Para se obter probabilidade, basta entrar com abscissa 1.0( na primeira coluna) e 0.00( na primeira linha) da tabela. Assim:
a) P(0 ≤ Z ≤ 1)=0.3413
b) P(-2,55< Z< 1.2)=0.3849+0.4946= 0.8795
c) P( Z>1.93)=0.5000 - 0.4732= 0.0268
exercicios:
As alturas dos estudantes de uma determinada escola sao normalmente distribuidas com media 1.60m e desvio padrao 0.30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
a) entre 1.50 e 1.80m
Sabe-se que:
µ=1.60 e σ=0.30
Distribuicao normal
Faca X a variavel normal altura dos alunos. Entao
a)P(1.50 ≤ X ≤ 1.80);
Padronizando teremos:
Z1=(X-µ)/ σ =(1.50-1.60)/0.30=-0.33 e
Z2=( X-µ)/ σ =(1.80-1.60)/0.33 = 0.67
a) P(Z1 ≤ Z ≤ Z2);
P(-0.33 ≤ Z ≤ 0.67) = 0.1293+0.2486=0.3779= 37.79%
EXERCICIOS:
b) Mais de 1.75m
P( X> 1.75)
Z1=(1.75-1.60)/0.30 = 0.5 ;
P(Z>Z1)
P(Z > 0.5)= 0.500-0.1915= 0.3085
C) menos de 1.48m
P( X< 1.48)
Z1=(1.48-1.60)/0.30 =-0.4 ;
P(Z<Z1) ;
P(Z < -0.4)= o.500-0.1554 = 0.3446
Calculando valores a partir da probabilidade
Para fazer este calculo deve-se:
1) Lembrar que percentagem ou probabilidade são áreas do gráfico, e náo valores de Z
2) A leitura da tabela e invertida
3)Aplicar a variação da fórmula de padronização X=µ+Z* σ
EXEMPLO:
d) Qual deve ser a medida minima para escolhermos 10% dos mais altos?
O problema é inverso dos anteriores pois neste caso tem-se a probabilidade e deseja-se a medida
Para se encontrar o valor de Z que deixa 0.10 a direita, deve-se entrar na tabela com 0.40, assim descobrimos que Z=1.28. Logo
Z=(X-µ)/ σ = 1.28
(X-1.60)/0.30 ; Portanto X = 1,98m deve ser a medida para se encontar 10% dos mais altos.
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